<p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><i>A 豎式的演化</i></b></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 大家都會做乘法。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 最最簡單的乘法是個位數(shù)乘法，也就是“乘法口訣”，俗稱小九九。大家都能熟練背誦，甚至可以倒背如流。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 而一個兩位數(shù)的二倍數(shù)幾乎也都可以“口拈帳”般得出。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 我們今天討論的是任意兩個兩位數(shù)相乘的方法。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 不使用算盤，計算器的話，大家自然會想起乘法豎式。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 用個例子吧！</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 計算 89 乘以 67</span></p><p><span style="font-size: 20px;"><span class="ql-cursor">?</span></span></p><p><br></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 這是我們都熟悉的“標(biāo)準(zhǔn)”豎式</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> （我們把豎式里的數(shù)分為三組</span></p><p><span style="font-size: 20px;">：第一條橫線的上邊是“原數(shù)”，第二條橫線的下邊是“答數(shù)”，中間的稱為“過程數(shù)”）</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 它有兩個特點：</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 1，原數(shù)，過程數(shù)與答數(shù)是對位的（全程對位）</span></p><p><br></p><p><br></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 2，過程數(shù)在計算中間是有進(jìn)位的（圖中紅圈所示）</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> （當(dāng)然，不一定所有兩個兩位數(shù)相乘時都有進(jìn)位。例如，11乘以13。）</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 標(biāo)準(zhǔn)豎式大家都熟識——從中國到世界通用。我在大約70年前學(xué)會了它，一直用到今天………</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 可是，</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 可是，</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 可是，——</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 它是怎么來到我們身邊的？</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 想不起來了………</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">#——&——#——&——#——&——#——&——#——&——#——&</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 需要“窮原竟委”，</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 探一探其原委。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 原來，</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 原來，</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 原來，它是由一個四層“數(shù)陣”變來的??！</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 在這個數(shù)陣?yán)?lt;/span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 上邊的兩行之和，就是標(biāo)準(zhǔn)豎式的第一行</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 下邊的兩行之和，就是標(biāo)準(zhǔn)豎式的第二行</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 實際上，此數(shù)陣?yán)锼袛?shù)字的最大數(shù)不會超過 81 （絕對的），都是兩位數(shù)。</span></p><p><span style="font-size: 20px;">? 所以，如果我們把其第四行“平移”上去與第一行合并，不會有任何問題！</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 如此，四行就變成了三行</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 我們很容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)陣是和某一根“軸”對稱的……</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 而兩個兩位數(shù)自然有個對稱軸。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 剛才提到的兩個對稱軸不在一條直線上，可我們把它們“移動”使之成為一條直線時，數(shù)陣變成了這樣</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 這就是“另類”的豎式了——</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 它不再是全程對位</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 只有在計算最后答數(shù)時才會有進(jìn)位（過程數(shù)絕對沒有進(jìn)位數(shù)，必要時還會出現(xiàn)“補(bǔ)零”）。</span></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 用它來計算兩位數(shù)乘法時</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 在豎線（對稱軸）的第一行</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 右邊 寫上兩個個位數(shù)乘積</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 左邊 寫上兩個十位數(shù)乘積</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 隨后的兩行則是</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 用一個數(shù)的高位乘以另一個數(shù)的低位的結(jié)果（反正只有兩位數(shù)，干脆把十位稱為高位，個位稱為低位。）</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> （由于有兩個此類數(shù)，寫兩行。圖中用個小紅叉叉“暗示”）</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><i>B 說說“印度乘法口訣”</i></b></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 應(yīng)該說，印度人是有數(shù)學(xué)天賦的。如今流傳在世界各個角落，此文里也在用的所謂“阿拉伯?dāng)?shù)字”，就是印度人發(fā)明，被阿拉伯商人帶到了世界各地的……</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 前兩年在微信里就流傳著印度乘法口訣?？墒悄屛冶常铱杀巢簧蟻怼俏抑?，那是關(guān)于十幾乘十幾的算法口訣。咱們可以用用新得到的豎式啊！</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 也還是舉個例子吧！</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 計算一下 16乘17 </span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 哈哈哈哈，這不，看著它就可以“編”出來了……</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 計算十幾乘十幾時</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 先把低位數(shù)的和擴(kuò)大10倍，加上低位數(shù)的乘積，再加上100</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">（還是算16乘17。6+7=13，130+42，再加上100，是272吧？）</span></p><p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><i>應(yīng)該說，任意兩個兩位數(shù)相乘時，將其高低位數(shù)字交互相乘之和的十倍，加上低位數(shù)的乘積，再加上高位數(shù)乘積的 100 倍，即可。</i></b></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">您認(rèn)為，這能不能作為任意兩個兩位數(shù)乘法的口訣呢？</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><i>C 兩位數(shù)的平方 </i></b></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 相乘的兩個兩位數(shù)相等時，變成了求一個兩位數(shù)的平方。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 我們還是舉個例子</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 求 37 的平方</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 按照前面找到的豎式得出</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"><span class="ql-cursor">?</span></span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 其中，第二、三行的數(shù)是相同的，可以將它們合并為一個兩位數(shù)的二倍數(shù)。從而使豎式簡化為兩行。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 需要指出的是，一個兩位數(shù)的二倍數(shù)可能會是個三位數(shù)（比如，6乘9為54，二倍之為 108 ），也就是說，此時會有進(jìn)位——還好，發(fā)生進(jìn)位的時候，進(jìn)位數(shù)不會超過 2 ，只能出現(xiàn) 1 。</span></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"><span class="ql-cursor">?</span></span></p> <p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><i>D 一種特殊二位數(shù)的平方 </i></b></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 我們這里說的“特殊二位數(shù)”是指個位數(shù)是 5 的二位數(shù)。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 它們是：</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 15，25，35，45，55，65，75，85 和 95 。 </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 若把它們表示為 N5 </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 顯然，N 為 1 ～ 9 的正整數(shù)</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 其平方</span></p><p><span style="font-size: 20px;">?</span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 過程數(shù)里， </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 第一行的 N?N 是兩個 N 的積</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 第二行是 5N 的二倍數(shù)，10N ，也就是 N0 </span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 答數(shù)比較“怪”，它表示兩個數(shù)乘積的后面要加個“尾巴”——25 。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 打個比方吧，若 N= 6 ，就是求 65 的平方。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> N（N + 1 ）是 6 乘以 7 ，得</span></p><p><span style="font-size: 20px;">42，再加個“小尾巴”，答案：</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 65 的平方數(shù)是 4225 。</span></p><p><br></p><p><br></p><p><span style="font-size: 20px;">｛這么跟您說吧，這雖然是由二位數(shù)推出來的結(jié)果，卻對多位數(shù)也是正確的。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 比如，165的平方，可以先計算 16 乘17 ，（上面談“印度乘法口訣”時，有這個例子）為 272 ，加個“小尾巴” 25 ，得出結(jié)果，165的平方是 27225 。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 如果您有興趣，可以嘗試更多位數(shù)的例子。｝</span></p><p><span style="font-size: 20px;"><span class="ql-cursor">?</span></span></p><p><span style="font-size: 20px;"> </span></p> <p><br></p><p><span style="font-size: 20px;"> 當(dāng)然還有其他的特殊二位數(shù)，比如，高位數(shù)與低位數(shù)是相同數(shù)字組成的數(shù)，11，22，33，44，………99等。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 由于 11 的平方等于 121 ，</span></p><p><span style="font-size: 20px;">所以，22 的平方就是 4乘 121 ，是 484 。</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> ……………～…………</span></p><p><span style="font-size: 20px;"> 不再贅述。</span></p><p><br></p><p><b style="font-size: 20px;">? 歡迎各位朋友提出寶貴意見！</b></p><p><br></p><p><b style="font-size: 20px;"><span class="ql-cursor">?</span></b></p>