<p class="ql-block">3.2.2 奇偶性</p><p class="ql-block">第一課時(shí) 函數(shù)的奇偶性</p><p class="ql-block">課標(biāo)要求 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義. </p><p class="ql-block">2.能判斷函數(shù)的奇偶性，能運(yùn)用奇偶函數(shù)的圖象特征解決一些簡(jiǎn)單問題.</p><p class="ql-block">【引入】古語有云：“夫美者，上下，內(nèi)外，大小，遠(yuǎn)近皆無害焉，故曰美.”大家知道，我國(guó)的建筑，無論宮殿、廟宇、亭臺(tái)、園林，無不有著對(duì)稱之美，還能給人以穩(wěn)重、博大、端莊的感覺，你能說出生活中和對(duì)稱有關(guān)的例子嗎？而對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中更是體現(xiàn)得淋漓盡致，今天我們來探究數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美.</p><p class="ql-block">一、函數(shù)奇偶性的概念</p><p class="ql-block">探究1 (1)觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象，它們有什么共同特征？</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">提示 兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.</p><p class="ql-block">(2)如何利用符號(hào)語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”呢？不妨取自變量的一些特殊值，觀察下表相應(yīng)函數(shù)值的情況.</p><p class="ql-block">x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …</p><p class="ql-block">f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …</p><p class="ql-block">g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 …</p><p class="ql-block">提示 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等.實(shí)際上，任意x∈R，f(－x)＝f(x).</p><p class="ql-block">探究2 (1)觀察函數(shù)f(x)＝x和g(x)＝x(1)的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">提示 可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.</p><p class="ql-block">(2)如何利用符號(hào)語言，精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱”呢？不妨取自變量的一些特殊值，看相應(yīng)函數(shù)值的情況.</p><p class="ql-block">x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …</p><p class="ql-block">f(x)＝x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …</p><p class="ql-block">g(x)＝x(1) … －3(1) －2(1) －1 1 2(1) 3(1) …</p><p class="ql-block">提示 可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x)也是一對(duì)相反數(shù)，實(shí)際上，任意x∈R，f(－x)＝－f(x).</p><p class="ql-block">【知識(shí)梳理】</p><p class="ql-block">函數(shù)的奇偶性</p><p class="ql-block">奇偶性 偶函數(shù) 奇函數(shù)</p><p class="ql-block">條件 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果x∈D，都有－x∈D</p><p class="ql-block">結(jié)論 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x)</p><p class="ql-block">圖象特點(diǎn) 關(guān)于y軸對(duì)稱 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱</p><p class="ql-block">溫馨提示 (1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)、偶函數(shù)的必要條件.</p><p class="ql-block">(2)奇偶性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，只有對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說函數(shù)為奇函數(shù)(或偶函數(shù)).</p><p class="ql-block">(3)既奇又偶的函數(shù)有且只有一類：f(x)＝0，x∈D，且D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的集合.</p><p class="ql-block">二、函數(shù)奇偶性的判斷</p><p class="ql-block">角度1 一般函數(shù)奇偶性的判斷</p><p class="ql-block">例1 (鏈接教材P84例6)判斷下列函數(shù)的奇偶性：</p><p class="ql-block">(1)f(x)＝2－|x|；</p><p class="ql-block">(2)f(x)＝＋；</p><p class="ql-block">(3)f(x)＝x－1(x).</p><p class="ql-block">解 (1)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，因?yàn)楠衳∈R，都有－x∈R，</p><p class="ql-block">且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).</p><p class="ql-block">(2)∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，</p><p class="ql-block">因?yàn)楠衳∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}.且f(x)＝0，</p><p class="ql-block">又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，</p><p class="ql-block">∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).</p><p class="ql-block">(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}，存在－1∈{x|x≠1}，但是1{x|x≠1}，</p><p class="ql-block">∴f(x)是非奇非偶函數(shù).</p><p class="ql-block">角度2 分段函數(shù)奇偶性的判定</p><p class="ql-block">例2 判斷函數(shù)f(x)＝－x＋1，x<0(x＋1，x>0，)的奇偶性.</p><p class="ql-block">解 函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，</p><p class="ql-block">因?yàn)楠衳∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，</p><p class="ql-block">都有－x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，</p><p class="ql-block">當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，</p><p class="ql-block">∴f(－x)＝－(－x)＋1＝1＋x＝f(x)；</p><p class="ql-block">當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，</p><p class="ql-block">∴f(－x)＝(－x)＋1＝1－x＝f(x).</p><p class="ql-block">綜上可知，對(duì)于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，</p><p class="ql-block">都有f(－x)＝f(x)，f(x)為偶函數(shù).</p><p class="ql-block">思維升華 判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法</p><p class="ql-block">(1)定義法：若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(－x)是否等于±f(x)，或判斷f(－x)±f(x)是否等于0，從而確定奇偶性.</p><p class="ql-block">(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù).</p><p class="ql-block">訓(xùn)練1 判斷下列函數(shù)的奇偶性.</p><p class="ql-block">(1)f(x)＝(1－x)1－x(1＋x)；</p><p class="ql-block">(2)f(x)＝x2－3x，x<0.(x2＋3x，x≥0，)</p><p class="ql-block">解 (1)由1－x(1＋x)≥0，得－1≤x<1.</p><p class="ql-block">∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，1)，</p><p class="ql-block">存在－1∈[－1，1)，但是1[－1，1).</p><p class="ql-block">故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).</p><p class="ql-block">(2)函數(shù)f(x)＝x2－3x（x<0）(x2＋3x（x≥0），)的定義域?yàn)镽，因?yàn)楠衳∈R，都有－x∈R，</p><p class="ql-block">當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x＝f(x)；</p><p class="ql-block">當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(－x)＝(－x)2＋3(－x)＝x2－3x＝f(x).</p><p class="ql-block">且f(0)＝0，</p><p class="ql-block">所以函數(shù)f(x)＝x2－3x（x<0）(x2＋3x（x≥0），)是偶函數(shù).</p><p class="ql-block">三、奇(偶)函數(shù)的圖象及應(yīng)用</p><p class="ql-block">例3 (鏈接教材P85練習(xí)T1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R 上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示.</p><p class="ql-block">[圖片]</p><p class="ql-block"> </p><p class="ql-block">(1)請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)y＝f(x)的圖象；</p><p class="ql-block">(2)根據(jù)圖象寫出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；</p><p class="ql-block">(3)根據(jù)圖象寫出使f(x)<0的x的取值集合.</p><p class="ql-block">解 (1)由題意補(bǔ)全函數(shù)圖象，如圖所示.</p>